2 of 7

2. Ахиллес догнал черепаху

В парадоксе Зенона "Ахиллес" утверждается, что быстроногий Ахиллес не сможет догнать черепаху, которая в момент старта находится на некотором расстоянии от него. Ход рассуждения тут таков. Прежде, чем догнать черепаху, Ахиллес должен достичь места, где она находилась вначале. Но за это время черепаха, конечно, немного удалится от Ахилесса. Далее герой снова будет вынужден пробежать разделяющее их расстояние, но черепаха снова хоть немного, но уползет вперед. И Ахиллес, занятый этим бесконечным процессом, никогда не сможет его завершить и поэтому не сможет догнать черепаху.

Более того, даже если черепаха, услышав сигнал к старту, не сдвинется со своего места, Ахиллес, все равно, не достигнет ее, так как ему нужно будет пройти сначала половину разделяющего их промежутка, но прежде - половину его половины и так далее до бесконечности. В этом заключается второй парадокс Зенона, известный под названием "Дихотомия", из которого делается вывод, что Ахиллес вообще не сможет сдвинуться с места и движение вообще невозможно. Ибо, чтобы пройти даже как угодно маленький отрезок, требуется бесконечная последовательность действий.

Обсуждению парадоксов Зенона посвящена обширная литература, в том числе и современная. В частности, как это ни странно, по мнению Бертрана Рассела, решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств ([2] с.187).

На наш взгляд, мнение Рассела является сильным преувеличением. Совсем нетрудо принять, что при суммировании бесконечного количества слагаемых может получиться конечное число, если величина слагаемых быстро убывает: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1. Поэтому бесконечная последовательность действий может быть выполнена за короткое время, если длительность каждого последующего действия быстро убывает, и Ахиллес, конечно, быстро догонит черепаху, потому что при постоянной скорости его движения члены ряда 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,,... представляют не только отрезки пути, но и отрезки времени.

Зенон, конечно, понимал, что если стрела летит из пункта A в пункт B со скоростью v, а расстояние между A и B равно S, то время полета будет t = S/v. Надеемся, Зенон понимал, что если отрезок S разделить пополам, а потом половину еще пополам и т.д., то от этого длина отрезка S не увеличится. Но, видимо, абстрактное мышление в Древней Греции не было развито достаточно для того, чтобы перенести это рассуждение на отрезок времени, t. Зенон считал, что если отрезок t разделить пополам, а потом половину еще пополам и т.д., то от этого деления длина отрезка t увеличится до бесконечности.

Да и теперь такое заблуждение весьма распространено. Мы приведем для иллюстрации типичное ошибочное рассуждение [3] :

"Ясно, что сумма ряда 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... равна единице, но в точности единице она равна только потенциально, а актуально, в каждый конкретный момент времени, она всегда будет хоть чуть-чуть меньше единицы. В точности равной единице она может стать только в бесконечно удаленном будущем, то есть никогда. Значит, Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху?"

Как ни удивительно, но для "разрешения" парадоксов Зенона привлекают квантовую механику. Авторы работы [4] , как и автор работы [3] , считают рассуждение Зенона верным, а выход из парадоксов видят в следующем обстоятельстве. Замораживание всех процессов, которое должно было бы произойти, согласно рассуждениям Зенона, не происходит в силу того, что бесконечная делимость времени, используемая Зеноном, невозможна из-за квантовомеханического соотношения неопределенностей энергии и времени, E t > h, поскольку уменьшение времени на измерение местоположения объекта, требует увеличения затрачиваемой на него энергии.

В качестве примера здравых оценок парадоксов Зенона приведем высказывание известного французского математика Поля Леви (P. L'evy). В 1959 году он писал:

"Как можно воображать себе, что время остановится из-за того, что некий философ занимается перечислением членов бесконечного ряда. Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях весьма разумные, могут оказаться смущенными подобными парадоксами. Мой теперешний ответ есть тот самый, который я дал, когда мне было 11 лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс. Я резюмировал тогда такой немногословной формулой: "Этот грек был идиотом". Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, возможно, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но мое удивление перед умами, смущаемыми сходящимся рядом, осталось тем же."

Заметим, что Гегель высоко отзывался о Зеноне: "Особенность Зенона - диалектика... Он - зачинатель диалектики... У Зенона мы находим истинно объективную диалектику".