О стохастических свойствах динамического хаоса в системах автономных дифференциальных уравнений, типа системы Лоренца


DOI: 10.34759/trd-2020-112-1

Авторы

Хатунцева О. Н.

Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва, ул. Ленина, 4А, Королев, Московская область, 141070, Россия

e-mail: olga.khatuntseva@rsce.ru

Аннотация

Критериев устойчивости для систем автономных дифференциальных уравнений (САДУ), аналогичных критерию Куранта-Фридрихса-Леви, в настоящее время не существует. При численном интегрировании САДУ довольно часто сталкиваются с неустойчивостями, проявляющимися в виде вычислительного хаоса. Причем, уменьшение временного шага не приводит к устранению такой «неустойчивости». Обычно, для объяснения явления детерминированного хаоса приводятся исследования по определению чувствительности решений к точности задания начальных условий. Эти исследования показывают экспоненциальную расходимость изначально близких траекторий решений и невозможность подобрать столь малую достижимую погрешность вычисления, чтобы «победить» неопределенность в САДУ типа Лоренца.

Из этого делается заключение, что поскольку принципиальные трудности не позволяют достичь необходимой точности вычислений, то задумываться о детерминированности не имеет смысла. Однако такой подход не решает проблему детерминированности решений безотносительно возможности или невозможности получения информации об эволюции рассматриваемой системы. С этими вопросами, в частности, сопрягаются вопросы предопределенности в замкнутых системах, в частности, в такой замкнутой системе, как Вселенная.

Проведенные в данной работе исследования показывают, что детерминированный хаос, возникающий в САДУ типа Лоренца, при задании любого конечного фиксированного шага по времени, вполне может быть ассоциирован со стохастическим процессом, а не являться, по сути, детерминированным хаосом.

В работе также обсуждаются вопросы, связанные с возможностью моделирования турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса с помощью метода прямого численного моделирования.

Ключевые слова:

хаос, автономные дифференциальные уравнения, система уравнений Лоренца, стохастические системы, турбулентность

Библиографический список

  1. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. – М.: Мир, 1991. – 504 с.

  2. Котельников М.В., Нгуен Суан Тхау. Оптимизация программного блока в задачах механики и электродинамики пристеночной плазмы // Труды МАИ. 2012. № 50. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=28798

  3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистком подходе к турбулентности. – М.: Мир, 1991. – 368 c.

  4. Tucker W. A Rigorous ODE Solver and Smale’s 14th Problem // Foundations of Computational Mathematics, 2002, no. 2(1), pp. 53 – 117. DOI: 10.1007/s002080010018

  5. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 320 c.

  6. Пчелинцев А.Н. Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца // Сибирский журнал вычислительной математики. 2014. Т. 17. № 2. C. 191 – 201.

  7. Хатунцева О.Н. О природе детерминированного хаоса в математике // Естественные и технические науки. 2017. № 11. C. 255 – 257.

  8. Хатунцева О.Н. Об учете влияния стохастических возмущений на решения уравнений Навье-Стокса в задаче Хагена-Пуазейля // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93311

  9. Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. – М.: Альпина нон-фикшн, 2016. – 460 с.

  10. Кувшинова Е.Ю. Методика определения оптимальной траектории перелета с малой тягой между околоземной и окололунной орбитами // Труды МАИ. 2013. № 68. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=41742

  11. Хатунцева О.Н. Теоретическое определение размерности односвязных фрактальных объектов в задачах образования вязких «пальцев» и росте дендритов // Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. Т. 12. № 2. C. 231 – 241.

  12. Feder J. Fractals. New York, Plenum Press, 1988, 283 p.

  13. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1974. – 712 с.

  14. Spalart P.R. Strategies for turbulence modeling and simulation // International Journal of Heat and Fluid Flow, 2000, vol. 21, no. 3, pp. 252 – 263. DOI: 10.1016/S0142-727X(00)00007-2

  15. Dauchot O., Daviaud F. Finite-amplitude perturbation and spots growth mechanism in plane Couette flow // Physics of Fluids, 1995, no.7, pp. 335 – 343. DOI: https://doi.org/10.1063/1.868631

  16. Bottin S., Daviaud F., Manneville P., Dauchot O. Discontinuous transition to spatiotemporal intermittency in plane Couette flow // Europhysics Letters, 1998, vol. 43, no. 2, pp. 171 – 176, available at: https://doi.org/10.1209/epl/i1998-00336-3

  17. Tuckerman Laurette S., Kreilos T, Schrobsdorff H., Schneider Tobias M., Gibson John F. Turbulent-laminar patterns in plane Poiseuille flow // Physics of Fluids, Jan 2015. DOI: 10.1063/1.4900874

  18. Orszag Steven A., Kells Lawrence C. Transition to turbulence in plane Poiseuille and plane Couette flow // Journal of Fluid Mechanics, 1980, vol. 96, no.1, pp. 159 – 205, available at: https://doi.org/10.1017/S0022112080002066

  19. Ларина Е.В., Крюков И.А., Иванов И.Э. Моделирование осесимметричных струйных течений с использованием дифференциальных моделей турбулентной вязкости // Труды МАИ. 2016. № 91. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=75565

  20. Dehaeze F., Barakos G.N., Batrakov A.S., Kusyumov A.N., Mikhailov S.A. Simulation of flow around aerofoil with DES model of turbulence // Труды МАИ. 2012. № 59. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=34840

  21. Кравчук М.О., Кудимов Н.Ф., Сафронов А.В. Вопросы моделирования турбулентности для расчета сверхзвуковых высокотемпературных струй // Труды МАИ. 2015. № 82. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=58536

  22. До С.З. Численное моделирование вихрей в течении Куэтта-Тейлора сжимаемого газа // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49670

  23. Ву М.Х., Попов С.А., Рыжов Ю.А. Проблемы моделирования течения в осевых вентиляторах аэродинамических труб // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29361

  24. Крупенин А.М., Мартиросов М.И. Численное моделирование поведения трехслойной прямоугольной пластины при вертикальном ударе о жидкость // Труды МАИ. 2013. № 69. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=43066

  25. Крупенин А.М., Мартиросов М.И. Верификация численной модели взаимодействия прямоугольной пластины с поверхностью воды // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49676

  26. Махров В.П., Глущенко А.А., Юрьев А.И. Влияние гидродинамических особенностей на поведение свободной поверхности жидкости в высокоскоростном потоке // Труды МАИ. 2013. № 64. URL: http://trudymai.ru/upload/iblock/1e7/rus.pdf?lang=ru&issue=64

  27. Menter F.R. Zonal two equation k-w turbulence models for aerodynamic flows // 23rd Fluid Dynamics, Plasmadynamics, and Lasers Conference, AIAA Paper, 1993, N93-2906, pp. 21.

  28. Shih T.-H., Liou W.W., Shabbir A., Yang Z., and Zhu J. A New k-e Eddy-Viscosity Model for High Reynolds Number Turbulent Flows – Model Developmentand Validation // Computers Fluids, 1995, vol. 24, no. 3, pp. 227 – 238, available at: https://doi.org/10.1016/0045-7930(94)00032-T

  29. Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure // Journal of Fluid Mechanics, April 1975, vol. 68, no. 3, p. 537 – 566. DOI: 10.1017/S0022112075001814

  30. Launder B.E., Spalding D.B. Lectures in Mathematical Models of Turbulence, London, Academic Press, 1972, 169 p.

  31. Wilcox David C. Turbulence Modeling for CFD. Second edition, Anaheim: DCW Industries, 1998, 174 p.

  32. Yakhot V., Orszag S.A., Thangam S., Gatski T.B., Speziale C.G. Development of turbulence models for shear flows by a double expansion technique // Physics of Fluids, 1992, vol. 4, no. 7, pp. 510 – 520, available at: https://doi.org/10.1063/1.858424

  33. Никущенко Д.В., Мялкин Р.А. Моделирование кавитационного обтекания крыла на основе методов вычислительной гидродинамики // Морские интеллектуальные технологии. 2014. T. 2. № 4(26). C. 83 – 87.

  34. Павловский В.А., Хитрых Д.П., Маламанов С.Ю. Численное исследование нестационарного кавитационного обтекания гидрокрыла NACA009 // Морские интеллектуальные технологии. 2018. T. 1. № 2(40). C. 138 – 143.

  35. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в трубах кругового сечения // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1994. № 6. C. 14 – 26.

  36. Хатунцева О.Н. О механизме возникновения в стохастических процессах гауссовских распределений случайной величины с «тяжелыми» степенными «хвостами» // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=98854

  37. Хатунцева О.Н. Описание динамики марковских процессов в расширенном пространстве переменных // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII. № 1. C. 62 – 85.

  38. Хатунцева О.Н. Аналитический метод определения профиля скорости турбулентного течения жидкости в плоской задаче Куэтта // Труды МАИ. 2019. № 104. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=102091

  39. Хатунцева О.Н. Аналитический метод определения профиля скорости турбулентного течения жидкости в плоской задаче Пуазейля // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http:// trudymai.ru/published.php?ID=105673

  40. Хатунцева О.Н. Определение критического числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода в плоской задаче Пуазейля на основе метода «разрывных функций» // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=109382


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2023

Вход