О применении численных методов второго порядка к задачам стохастического программирования с функцией вероятности


DOI: 10.34759/trd-2021-121-17

Авторы

Торишный Р. О.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

e-mail: arenas-26@yandex.ru

Аннотация

В работе исследуется возможность применения численных методов оптимизации второго порядка для решения задач стохастического программирования с функцией вероятности в качестве критерия и/или ограничения. Приводятся формулы вычисления вторых производных гладкой аппроксимации функции вероятности по элементам вектора управления. На ряде примеров проводится сравнение гладких аппроксимаций производных первого и второго порядка с соответствующими конечными разностями точной функции вероятности, подтверждающее хорошую точность аппроксимации. Также в работе решается задача формирования инвестиционного портфеля с логарифмической функцией потерь и вероятностным критерием.

Ключевые слова:

стохастическое программирование, функция вероятности, гладкая аппроксимация, сигмоидальная функция, производные второго порядка

Библиографический список

  1. Кибзун A.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. — М.: Физматлит, 2009. — 372 с.
  2. Prekopa A. Stochastic Programming, Springer Netherlands, 1995, 600 p.
  3. Shapiro A., Dentcheva D., Ruszczy´nski A. Lectures on Stochastic Programming. Modeling and Theory. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2009, 450 p. DOI:10.1137/1.9780898718751
  4. Тамм Э. О квазивыпуклости функций вероятности и квантили // Известия Академии наук Эстонской ССР. 1976. Т. 25. № 2. С. 141-144.
  5. Кан Ю.С., Кибзун А.И. Свойства выпуклости функций вероятности и квантили в задачах оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1996. № 3. С. 82-102.
  6. Prekopa A. Logarithmic Concave Measures with Application to Stochastic Programming // Acta Sci. Math. (Szeged), 1971, vol. 32, pp. 301-316.
  7. Prekopa A. On Logarithmic Concave Measures and Functions // Acta Sci. Math. (Szeged), 1973, vol. 34, pp. 335-343.
  8. Borell C. Convex Set Functions in d-Space // Periodica Mathematica Hungatica, 1975, vol. 6, no. 2, pp. 111-136.
  9. Норкин В.И., Роенко Н.В. α-Вогнутые функции и меры и их приложения // Кибернетика и системный анализ. 1991. № 6. С. 77–88.
  10. Van Ackooij W. Eventual Convexity of Chance Constrained Feasible Sets // Optimization (J. Math. Programm. Oper. Res.), 2015, vol. 64, no. 5, pp. 1263-1284.
  11. Henrion R. On the Connectedness of Probabilistic Constraint Sets // Journal of Optimization Theory and Applications, 2002, vol. 112, no. 3, pp. 657-663. DOI:10.1023/A:1017976418636
  12. Райк Э. Дифференцируемость по параметру функции вероятности и стохастический псевдоградиентный метод для ее оптимизации // Известия Академии наук Эстонской ССР. Физика. Математика. 1975. Т. 24. № 1. С. 3-9.
  13. Кибзун А.И., Третьяков Г.Л. О гладкости критериальной функции в задаче квантильной оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1997. № 9. С. 69-80.
  14. Marti K. Differentiation formulas for probability functions: The transformation method // Mathticacal Programming, 1996, vol. 75, pp. 201-220. DOI: 10.1007/BF02592152
  15. Uryas’ev S. Derivatives of probability functions and some applications // Annals of Operations Research, 1995, vol. 56, pp. 287-311. DOI: 10.1007/BF02031712
  16. Васильева С.Н., Кан Ю.С. О линеаризации модели возмущенного движения в задаче вероятностного анализа рассеивания баллистических траекторий // Труды МАИ. 2018. № 99. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=92015
  17. Иванов С.В., Наумов А.В. Двухуровневая задача стохастического программирования с несколькими последователями и её приложение к оптимизации энергосберегающих проектов // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=52932
  18. Соболь В.Р., Торишный Р.О. О гладкой аппроксимации вероятностных критериев в задачах стохастического программирования // Труды СПИИРАН. 2020. № 1 (19). C. 180-217. DOI: 10.15622/sp.2020.19.1.7
  19. Torishnyi R., Sobol V. Smooth approximation of probability and quantile functions: vector generalization and its applications // Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1925, pp. 012034. DOI:10.1088/1742-6596/1925/1/012034
  20. Torishnyi R., Sobol V. Application of Smooth Approximation in Stochastic Optimization Problems with a Polyhedral Loss Function and Probability Criterion // In book: Mathematical Optimization Theory and Operations Research: Recent Trends. MOTOR 2021. Communications in Computer and Information Science, 2021, vol. 1476, pp. 102-116. DOI:10.1007/978-3-030-86433-0_7
  21. Sogol V.R., Torishnyy R.O., Pokhvalenskaya A.M. Application of the Smooth Approximation of the Probability Function in Some Applied Stochastic Programming Problems // Вестник ЮУрГУ, 2021. Т. 14. № 3. C. 33-45. DOI:10.14529/mmp210303
  22. Игнатов А.Н., Кибзун А.И. О формировании портфеля ценных бумаг с равномерным распределением по логарифмическому критерию с приоритетной рисковой составляющей // Автоматика и телемеханика. 2014. № 3. C. 87–105.



Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход