Аналитическое решение для термонапряженной двухслойной упругой полосы


Авторы

Хоа В. Д.*, Зверяев Е. М.**

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4

*e-mail: dong.hoavan@yandex.ru
**e-mail: zveriaev@gmail.com

Аннотация

Рассмотрена задача определения напряженно-деформированного состояния двухслойной упругой полосы, находящейся в температурном поле, под действием поперечной изгибающей нагрузки. На коротких сторонах полосы могут быть наложены те или иные условия на перемещения или напряжения.

Для построения решения используется метод, названный в [1] методом Сен-Венана–Пикара–Банаха (SVPB). Будучи основанным на обобщении идей полуобратного метода Сен-Венана [2] и метода последовательных приближений Пикара [3], он позволяет для системы уравнений теории упругости найти все неизвестные путем последовательных вычислений без каких-либо предварительных гипотез. Безразмерные дифференциальные уравнения в частных производных с малым параметром тонкостенности для тонкой полосы записываются как интегральные относительно поперечной координаты подобно тому как это делается в методе Пикара. Затем уравнения и преобразованные соотношения упругости выстраиваются в последовательность, соответственно позволяющую последовательно вычислять неизвестные задачи, выражая их через получившиеся при интегрировании по поперечной координате четыре произвольные функции продольной координаты и интегральные коэффициенты от функции изменения жесткостей слоев в поперечном направлении. Имея такие формулы для всех искомых неизвестных задачи можно записать выражения для граничных условий на длинных сторонах для определения четырех произвольных функций интегрирования по Пикару [4]. Эти выражения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения с малыми параметрами при производных по продольной координате. Их решениями являются медленно меняющиеся функции основного напряженно-деформированного состояния и быстро меняющиеся функции типа краевого эффекта. Константы интегрирования обоих решений определяются из граничных условий на коротких сторонах полосы. Для медленно меняющихся условия совпадают с классическими для балки. Не удовлетворенные классическим решением условия удовлетворяются с помощью постоянных интегрирования быстро меняющихся решений, добавляя к медленно меняющемуся решения краевого эффекта и особенности в углах полосы [5]. Подставив эти решения основных неизвестных в ранее полученные после первой итерации формулы, получим формулы для всех искомых неизвестных задачи теории упругости слоистой полосы, справедливые для каждой точки полосы.

Ключевые слова:

плоская задача, слоистый материал, термонапряженное состояние, асимптотический подход, итерации, метод Сен-Венана–Пикара–Банаха

Библиографический список

  1. Зверяев Е.М. Метод Сен-Венана – Пикара – Банаха интегрирования уравнений теории упругости тонкостенных систем // Прикладная математика и механика. 2019. Т. 83. № 5–6. С. 823‒833. DOI: 10.1134/S0032823519050126

  2. Ляв А. Математическая теория упругости. – М. ‒ Л.: ОНТИ, 1935. – 674 с.

  3. Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Мир, 1984. – 584 с.

  4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. – 543 с.

  5. Friedrichs К.О. Asymptotic phenomena in mathematical physics // Bulletin of the American Mathematical Society, 1955, vol. 61, no. 6, pp. 485‒504. DOI: 10.1090/S0002-9904-1955-09976-2

  6. Milton Gr. W. The theory of composites. Cambridge University Press, 2004, 719 p.

  7. Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др. Композиционные материалы: Справочник. – М.: Машиностроение, 1990. – 512 с.

  8. Baker A., Dutton S., Kelly D. Composite materials for Aircraft structures, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc, 2004, 603 p.

  9. Зверяев Е.М., Олехова Л.В. Сведение трехмерных уравнений НДС пластины из композиционного материала к двумерным на базе принципа сжатых отображений // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2014. № 95. DOI: 10.13140/RG.2.2.21968.00000

  10. Зверяев Е.М., Олехова Л.В. Итерационная трактовка полуобратного метода Сен-Венана при построении уравнений тонкостенных элементов конструкций из композиционного материала // Труды МАИ. 2015. № 79. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=55762

  11. Chakrabarti A., Sheikh A.H., Griffith M., Oehlers D.J. Analysis of composite beams with partial shear interactions using a higher order beam theory // Engineering Structures, 2012, no. 36, pp. 283–291. DOI: 10.12989/sem.2015.53.4.625

  12. Фирсанов В.В., Фам В.Т, Чан Н.Д. Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных композитных сферических оболочек на основе уточненной теории // Труды МАИ. 2020. № 114. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=118893. DOI: 10.34759/trd-2020-114-07

  13. Грищенко С.В., Попов Ю.И. Разработка макромодели слоистого композита для анализа напряженно-деформированного состояния нерегулярных зон типовых конструкций планера самолета // Труды МАИ. 2013. № 65. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=35854
  14. Семенцова А.Н. Анализ температурных напряжений и деформаций в кессонных конструкциях из композиционных материалов // Труды МАИ. 2013. № 65. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=35951

  15. Чигринец Е.Г., Родригес С.Б., Заболотний Д.И., Чотчаева С.К. Численное моделирование температурных полей в полимерном композите // Труды МАИ. 2021. № 116. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=121111. DOI: 10.34759/trd-2021-116-17

  16. Лурье С.А., Соляев Ю.О., Нгуен Д.К, Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Исследование локальных эффектов в распределении температурных напряжений на контактных границах слоистых сред // Труды МАИ. 2013. № 71. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=47084

  17. Лурье С.А., Дудченко А.А., Нгуен Д.К. Градиентная модель термоупругости для слоистой композитной структуры // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=49674

  18. Зверяев Е.М. Построение математической модели полосы и балки из композиционного материала на основе принципа сжатых отображений // IV Всероссийский симпозиум «Механика композиционных материалов и конструкций» (Москва, 4-6 декабря 2012): сборник трудов. Т.2. ‒ М.: ИПРИМ РАН, 2012. С. 226-234.

  19. Зверяев Е.М. Температурная деформация длинной упругой полосы // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2021. Т. 22. № 2. С. 293–304.

  20. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости. – М. – Л.: ОНТИ. Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937. – 110 с.

  21. Зверяев Е.М., Пыхтин А.В. Решение задачи нагружения полосы методом Сен-Венана — Пикара — Банаха // Материалы XXII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2021), Алушта, 4–13 сентября 2021. – М.: Изд-во МАИ, 2021. С. 214-215.

  22. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. – 512 с.

  23. Зверяев Е.М. Метод Сен-Венана—Пикара—Банаха интегрирования уравнений в частных производных с малым параметром // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2018. № 83. 19 с. DOI: 10.20948/prepr-2018-83


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход