Напряженно-деформированное состояние тонкой прямоугольной полосы при температурном воздействии


Авторы

Хоа В. Д.*, Зверяев Е. М., Пыхтин А. В.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: dong.hoavan@yandex.ru

Аннотация

Реакция тонкой прямоугольной полосы на воздействие механической (в плоскости объекта) нагрузки и температурного поля рассматривается в постановки плоской задачи теории упругости. Основу решения составляет применение метода Сен-Венана–Пикара–Банаха интегрирования уравнений теории упругости тонкостенны систем (SVPB). Метод сочетает в себе итерационный и асимптотический подходы и обладает большей свободой от ограничивающих решение допущений.

Первой особенностью является переход к последовательному интегрированию исходных уравнений. Соотношения выстраиваются таким образом, что результат предшествующего используется в последующем выражении как известная величина. Введение начального приближения позволяет рассматривать такую последовательность как итерационный оператор метода последовательных приближений. Выбор в качестве начального неизвестных функций, определяемых (уточняемых) в процессе решения отвечает идее полу-обратного метода Сен-Венана, расширяя его трактовку до итерационной.

Исключение операторов дифференцирования по координате толщины в уравнениях интегрированием включает в состав итерационного оператора операторов интегрирования соотносимых с операторами Пикара метода решения дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной (также являющегося итерационным).

Последовательное применение итерационного оператора дает интегралы (форму решения для неизвестных задачи) в виде асимптотических радов по малом параметру тонкостенности. Погрешность решения оценивается степенью малого параметра (являющегося сколь угодно малой величиной) старшего члена отбрасываемой части ряда. Существование и единственности решения определяются принципом сжатых отображений (теоремой Банаха о неподвижной точке).

Полученные интегралы (итерационные приближения для функций напряженно-деформированного состояния) применяются для выполнения граничных условий задачи. В результате этого определяются основные неизвестные задачи (произволы интегрирования, к числу которых относятся функции начального приближения).

SVPB является аналитическим методом, и асимптотический подход применяется обычно также для вычленения из уравнений доступных соотношений, характеризующих составляющие решения с определенными свойствами (в частности, быстро и медленно меняющихся компонент, отвечающих за краевой эффект и основное решение). При решении рассматриваемой задачей вид решения для основных неизвестных получен путем прямых преобразований без применения асимптотических гипотез. Для первой итерации проведено сопоставление с асимптотическим решением. Решение дополнено результатами, полученными на соотношениях следующей итерации.

Ключевые слова:

плоская задача, прямоугольная полоса, термонапряженное состояние, итерации, метод Сен-Венана–Пикара–Банаха

Библиографический список

  1. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 420 с.

  2. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. № 3. С. 26–47.

  3. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2000. № 2. С. 153–168.

  4. Зверяев Е.М., Тупикова Е.М. Итерационные методы построения решения уравнений незамкнутых оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. № 6. С. 588–607.

  5. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. № 4. С. 668–686.

  6. Зверяев Е.М. Построение основного напряженного состояния тонкой упругой оболочки методом простых итераций // В сб.: Детормирование и разрушение элементов конструкций летательных аппаратов. - М.: МАТИ, 1989. С. 56-63.

  7. Зверяев Е.М. Метод Сен-Венана – Пикара – Банаха интегрирования уравнений теории упругости тонкостенных систем // Прикладная математика и механика. 2019. Т. 83. № 5–6. С. 823–833. DOI: 10.1134/S0032823519050126

  8. Зверяев Е.М., Пыхтин А.В., Хоа В.Д. Пространственная задача для прямоугольной упругой пластины // Строительная механика и расчет сооружений. 2021. № 4. С. 2–11. DOI: 10.37538/0039-2383.2021.4.2.11

  9. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: Объединённое научно-техническое издание НКТП СССР. 1935. - 674 с.

  10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 543 с.

  11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. - 576 с.

  12. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости. - М.-Л.: ОНТИ. Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937. – 110 с.

  13. Зверяев Е.М. Температурная деформация длинной упругой полосы // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2021. Т. 22. № 3. C. 293–304.

  14. Зверяев Е.М., Пыхтин А.В. Решение задачи нагружения полосы методом Сен-Венана — Пикара – Банаха // Материалы XXII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, ВМСППС’2021 (Алушта, 4–13 сентября 2021). - М.: Изд-во МАИ, 2021. С. 214-215.

  15. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

  16. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. - 512 с.

  17. Александров А.В., Алфутов Н.А., Астанин В.В. и др. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин // Машиностроение: Энциклопедия. Кн. 2. - М.: Машиностроение, 1995. - 624 p.

  18. Семенцова А.Н. Анализ температурных напряжений и деформаций в кессонных конструкциях из композиционных материалов // Труды МАИ. 2013. № 65. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=35951

  19. Лурье С.А., Соляев Ю.О., Нгуен Д.К., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Исследование локальных эффектов в распределении температурных напряжений на контактных границах слоистых сред // Труды МАИ. 2013. № 71. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=47084

  20. Лурье С.А., Дудченко А.А., Нгуен Д.К. Градиентная модель термоупругости для слоистой композитной структуры // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=49674

  21. Чигринец Е.Г., Родригес С.Б., Заболотний Д.И., Чотчаева С. К. Численное моделирование температурных полей в полимерном композите // Труды МАИ. 2021. № 116. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=121111

  22. Фирсанов В.В., Фам В.Т. Напряженно-деформированное состояние сферической оболочки на основе уточненной теории // Труды МАИ. 2019. № 105. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=104174


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход