Аналитическое и численное определение собственных колебаний стратифицированной жидкости в открытом осесимметричном сосуде

Авторы

Чжан Ю. , Орлов В. В., Темнов А. Н.^*

ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана», 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, с. 1

*e-mail: antt45@mail.ru

Аннотация

В статье представлено аналитическое и численное исследование собственных колебаний (поверхностных и внутренних волн) непрерывно-стратифицированной жидкости со свободной поверхностью в открытом цилиндрическом сосуде, что является фундаментальной задачей для обеспечения динамической устойчивости жидкого топлива в аэрокосмических системах. На основе выведенных аналитических свойств задачи предложена эффективная численная модель, использующая слабую формулировку краевой задачи. Для дискретизации проведён сравнительный анализ элементов Паскаля третьего (10 степеней свободы, непрерывность ) и пятого порядка (21 степень свободы, непрерывность ). Показано, что элементы Паскаля пятого порядка обладают значительным преимуществом: при одинаковом разрешении расчётной сетки элементы успешно разрешают частоты поверхностных волн высших мод, в то время как низкопорядковые элементы существенно ограничены: после необходимого отсева обильных нефизических «численных артефактов» диапазон достоверных решений критически сужается. Попытки принудительного извлечения высших мод с помощью таких элементов приводят к завышению собственных частот из-за избыточной жёсткости сетки и сильным нефизическим осцилляциям в формах колебаний по оси , что делает их применение неэффективным. Для оптимизации вычислительных затрат и повышения точности дискретных форм колебаний предложен двухэтапный алгоритм: предварительный расчёт полного спектра на грубой сетке с фильтрацией эффективных собственных значений, с последующим локальным точным поиском в окрестностях найденных значений на сгущённой сетке. Полученные результаты демонстрируют высокую точность предлагаемого метода при определении характеристик как поверхностных, так и внутренних волн, что открывает новые возможности для анализа динамики стратифицированных сред в ёмкостях более сложной геометрии. В работе предоставляется вычислительный инструмент для определения собственных частот колебаний, что является основой прогнозирования сложного взаимодействия жидкости и конструкции, а также оптимизации систем управления криогенным топливом в ракетах-носителях и космических аппаратах.

Ключевые слова:

стратифицированная жидкость; свободные осесимметричные колебания; спектральная задача; метод конечных элементов; внутренние волны; поверхностные волны; метод Галёркина

Список источников

1. Hawthorne W R. Dynamics of Nonhomogeneous Fluids. By CHIA-SHUN YIH. Macmillan, 1965. 306 pp. 90s. Journal of Fluid Mechanics, 1967, 29(4): 826-828.

2. Turner J S. Buoyancy effects in fluids. Cambridge university press, 1979.

3. Nappo C J. An introduction to atmospheric gravity waves. Academic press, 2012.

4. Dodge F T. The new "dynamic behavior of liquids in moving containers", Southwest Research Institute. 2000.

5. Темнов А.Н., Ян Наинг У. Об устойчивости стационарного вращения твёрдого тела с полостью, содержащей криогенную жидкость // Труды МАИ. 2023. № 133. c.1-30.

6. Темнов А.Н., Ян Наинг У. Вращение вокруг неподвижной точки твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, полностью наполненной неоднородной жидкостью // Труды МАИ. 2023. № 128. С. 1-30.

7. Simonini, A., Dreyer, M., Urbano, A. et al. Cryogenic propellant management in space: open challenges and perspectives. npj Microgravity 10, 34. 2024. https://doi.org/10.1038/s41526-024-00377-5

8. Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Свободные колебания идеальной стратифицированной жидкости в сосуде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984.

9. Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1986. — Т. 26. № 5. С. 734-755. Л5.

10. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. — М.: Наука 1990г. — 342с.

11. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближённые методы решения задач динамики ограниченного объёма жидкости. — Киев: Наук. думка, 1984. — 232 с.

12. Gavrilyuk I, Hermann M, Lukovsky I, et al. Natural sloshing frequencies in rigid truncated conical tanks. Engineering Computations, 2008, 25(6): 518-540.

13. Gavrilyuk I, Hermann M, Lukovsky I, et al. Multimodal method for linear liquid sloshing in a rigid tapered conical tank. Engineering Computations, 2012, 29(2): 198-220.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. Рипол Классик, 1975.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 318 с.

16. Bathe K J. Finite element procedures. Klaus-Jurgen Bathe, 2006.

17. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966. — 432 с.

18. Karniadakis G, Sherwin S. Spectral/hp element methods for computational fluid dynamics. American Chemical Society, 2013.

19. Чжан Юе, Темнов А.Н. Собственные колебания вязкой стратифицированной жидкости в ограниченных объёмах // Труды МАИ: электрон. журнал. № 147. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=188107

20. Kuznetsov N G. On direct and inverse spectral problems for sloshing of a two-layer fluid in an open container. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathenatics, 2016, 7(5): 854-864.

21. Ibrahim R A. Liquid sloshing dynamics: theory and applications. Cambridge university press, 2005.

22. Ibrahim R A. Recent advances in physics of fluid parametric sloshing and related problems. Journal of Fluids Engineering, 2015, 137(9): 090801.

23. O.C. Zienkewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu. The finite element method: its basis and fundamentals. 2005, 6th edition.

24. Sarar B C, Yildizdag M E, Fabbrocino F, et al. A comparative analysis for different finite element types in strain-gradient elasticity simulations performed on Firedrake and FEniCS. Mathematics and Mechanics of Complex Systems, 2025, 13(3): 237-252.

25. 张诚坚，何南忠，覃婷婷. 工程数学计算方法第二版. —北京：高等教育出版社, 2016.3 第137-142页 (Чжан Чэнцзянь, Хэ Наньчжун, Тань Тинтин. Численные методы инженерной математики, второе издание. — Пекин: Высшее образование, 2016.3 — стр. 137-142)

26. Hughes T.J.R. The finite element method: linear static and dynamic finite element analysis. Courier Corporation, 2003.

27. Sutherland BR. Stratified fluids and waves. In: Internal Gravity Waves. Cambridge University Press; 2010:1-73.

28. Ochirov A A, Chashechkin Y D. Two-dimensional periodic waves in an inviscid continuously stratified fluid. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics, 2022, 58(5): 450-458.

29. Bulatov V V. Formulation of Initial-Boundary Conditions at Numerical Modeling of Wave Dynamics of Stratified Media. Fluid Dynamics, 2023, 58(Suppl 2): S200-S209. https://doi.org/10.1134/S0015462823603091

30. Stokes, G.G. On the theory of oscillatory waves. In Mathematical and Physical Papers (Cambridge Library Collection — Mathematics); Cambridge University Press: Cambridge, UK, 2010; pp. 197-229. https://doi.org/10.1017/CBO9780511702242.013

31. Lamb H. Hydrodynamics. 1993: 764.

32. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Волны в стратифицированных средах. — М.: Наука, 2015. —733с.

33. Темнов А.Н. О спектре малых колебаний непрерывно-стратифицированной жидкости. Нелинейные проблемы аэроупругости. // Труды семинара, Казань, 1979, в.11, с.183-193

34. Копачевский Н.Д., Цветков Д.О. Колебания стратифицированных жидкостей // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 29, С. 103-130.

35. Потетюнко Э Н, Черкесов Л В, Шубин Д С, Щербак Е.Н. Свободные колебания и обратные спектральные задачи. — М.: Вузовская книга, 2018. — 288 с.

Скачать статью