Интегрируемый случай М. Адлера и П. ван Мёрбеке. Механическая интерпретация

Авторы

Соколов С. В.

Институт машиноведения РАН им.А.А.Благонравова, Малый Харитоньевский переулок, 4, Москва, 101990, Россия

e-mail: sokolovsv72@mail.ru

Аннотация

В работе рассмотрен интегрируемый случай Адлера–ван Мёрбеке. Указана наиболее удобная для анализа форма дополнительного интеграла. Приведена возможная механическая интерпретация рассматриваемого случая. Рассмотрена связь с несколькими классическими интегрируемыми задачами механики. Обсуждаются условия физической реализуемости механической модели.

Ключевые слова

интегрируемые гамильтоновы системы, механическая интерпретация, уравнения Эйлера

Библиографический список

1. M. Adler, P. van Moerbeke. A new geodesic flow on SO(4) // Probability, statistical mechanics and number theory. Advances in mathematics supplementary studies. 1986. no.9. pp. 81– 96.

2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Известия АН СССР. Серия: Математика. 1978. Т. 42. № 2. С. 396 – 415.

3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1979, Москва, Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова. С. 3 – 94.

4. Borisov A.V., Mamaev I.S., Sokolov V.V. A New Integrable Case on SO(4)  // Doklady Physics. 2001.Vol. 46.no. 12, pp. 888 – 889.

5. Ryabov P.E., Oshemkov A.A., Sokolov S.V. The Integrable Case of Adler — van Moerbeke. Discriminant Set and Bifurcation Diagram. Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 5, pp. 581 – 592.

6. Рябов П.Е., Бирючева Е.О. Дискриминантное множество и бифуркационная диаграмма интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке // Нелинейная динамика, 2016, Т. 12. № 4. С. 633 – 650.

7. Bardin B.S., Savin A.A. On the orbital stability of pendulum-like oscillations and rotations of a symmetric rigid body with a fixed point // Regular and Chaotic Dynamics. 2012. Vol. 17. no. 3 – 4, pp. 243 – 257.

8. Бардин Б.С., Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=72568

9. Болсинов А.В., Борисов А.В., Мамаев И.С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // Успехи математических наук. 2010. Т. 65. no. 2(392). С. 71–132.

10. Sokolov V.V. One Class of Quadratic SO(4)  Hamiltonians // Doklady Mathematics. 2004. Vol. 69. no. 1, pp. 108 –111.

11. Болсинов А.В., Борисов А.В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли // Математические заметки. 2002. Т. 72. no. 1. С. 11–34.

12. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемоcть, хаос. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. – 576 с.

13. Greenhill A.G. Plane vortex motion. Quart // Journal of Pure and Applied Mathematics. 1877/78. vol. 15. no. 58. pp. 10-27.

14. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Журнал Русского физико-химического общества. 1885. Т. XVII. Отд. 1. №. 6. С. 81–113.

15. Poincare H. Sur la precession des corps deformables // Bulletin astronomique. 1910. Vol. XXVII, pp. 321– 356.

16. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. – М.: Наука, 1965. – 440 с.

17. Steklov V.A. Sur la mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remplie par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes // Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse. 1909. 3^e serie. Tome 1, pp. 145 –256.

18. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. – М.: Изд-во МГУ, 1988. – 413 с.

19. Adler M., P. van Moerbeke, and P. Vanhaecke. Algebraic Integrability, Painlevé Geometry and Lie Algebras // Ergebnisse der Mathematik und ihrerGrenzgebiete. 2004. Vol. 47 (3), Berlin-Heidelberg: Springer, 484 p.

20. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995. – 432 с.

21. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем.– Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 296 с.

22. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. – М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1991. – 320 c.

Скачать статью