О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка

Теоретическая механика


Авторы

Холостова О. В. 1*, Сафонов А. И. 2**

1. Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия
2. Научно-производственная фирма "ИнфоСистем-35", ул. 3-я Мытищинская, 16, стр. 37, Москва, 129626, Россия

*e-mail: kholostova_o@mail.ru
**e-mail: lexafonov@mail.ru

Аннотация

Рассматриваются движения близкой к автономной периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального положения равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуются одновременно два комбинационных резонанса третьего порядка, сильный и слабый; в этом случае частоты малых колебаний системы связаны также резонансным соотношением четвертого порядка. В полной нелинейной системе указанное положение равновесия неустойчиво. Методами теории возмущений проведена нормализация гамильтониана возмущенного движения в членах до четвертого порядка включительно относительно возмущений с учетом имеющихся резонансов. В предположении, что коэффициенты в слагаемых, соответствующих резонансу четвертого порядка, малы, рассмотрена приближенная (модельная) система, зависящая от трех параметров. Аналитическими и графическими методами решен вопрос о существовании и числе положений равновесия модельной системы. В пространстве параметров задачи выявлены области, в которых число положений равновесия модельной системы может варьироваться от нуля до пяти. В качестве приложения рассмотрена задача о движении динамически симметричного спутника (моделируемого твердым телом) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите. Исследуются движения спутника в окрестности его периодического движения, рождающегося из гиперболоидальной прецессии на круговой орбите. Для значений параметров, соответствующих кратному комбинационному резонансу третьего порядка, вычислены коэффициенты нормальной формы модельной системы. Показано, что в этой системе имеются три равновесные точки, причем две из них неустойчивы, а третья устойчива в линейном приближении.

Ключевые слова

Гамильтонова система, кратный комбинационный резонанс, динамически симметричный спутник, гиперболоидальная прецессия

Библиографический список

  1. Куницын А.Л. Об устойчивости в критическом случае чисто мнимых корней при внутреннем резонансе // Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 9. С. 1704 – 1706.

  2. Хазина Г.Г. Некоторые вопросы устойчивости при наличии резонансов // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 3. № 1. С. 56 – 65.

  3. Куницын А.Л., Медведев С.В. Об устойчивости при наличии нескольких резонансов // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 3. С. 422 – 429.

  4. Куницын А.Л., Ташимов Л.Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. – Алма-Ата: Гылым, 1990. – 196 с.

  5. Хазин Л.Г. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновых систем дифференциальных уравнений (Взаимодействие резонансов третьего порядка). – М.: Ин-т прикладной математики АН СССР. Препринт № 133, 1981. – 20 с.

  6. Хазин Л.Г. Взаимодействие резонансов третьего порядка в задачах устойчивости гамильтоновых систем // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. № 3. С. 494 – 498.

  7. Маркеев А.П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона // Доклады Академии Наук. 2005. Т. 402. № 3. С. 339 – 343.

  8. Маркеев А.П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. № 2. С. 200 – 220.

  9. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центр масс. – М. – Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2009. – 396 с.

  10. Маркеев А.П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики // Письма в астрономический журнал. 2005. Т. 31. № 5. С. 388 – 394.

  11. Маркеев А.П. Кратный резонанс в одной задаче об устойчивости движения спутника относительно центра масс // Письма в астрономический журнал. 2005. Т. 31. № 9. С. 701 – 708.

  12. Холостова О.В. О движениях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при наличии кратных резонансов третьего порядка // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 2. С. 267 – 288.

  13. Холостова О.В. О взаимодействии резонансов третьего и четвертого порядков в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы // Нелиная динамика. 2015. Т. 11. № 4. С. 671 – 683.

  14. Kholostova O. Stability of triangular libration points in a planar restricted elliptic three body problem in cases of double resonances // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2015, vol. 73, pp. 64 – 68.

  15. Холостова О.В. Задачи динамики твердых тел с вибрирующим подвесом. – М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2016. – 308 с.

  16. Холостова О.В. Исследование формальной устойчивости неавтономных гамильтоновых систем в случаях кратных резонансов четвертого порядка // Аналитическая механика, устойчивость и управление // Труды XI Международной Четаевской конференции (Казань, 13 – 17 июня 2017). – Казань: Изд-во КНИТУ-КАИ, 2017. Т. 2. С. 222 – 229.

  17. Сафонов А.И., Холостова О.В. О периодических движениях гамильтоновой системы в окрестности неустойчивого равновесия в случае двойного резонанса третьего порядка // Вестник Удмуртского университета. 2016. Т. 26. № 3. С. 418 – 438.

  18. Бардин Б.С. Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=65212

  19. Бардин Б.С. Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=72568

  20. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. – М.: Изд-во МГУ, 1975. – 308 с.

  21. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюллетень ИТА АН СССР. 1960. № 7. С. 511 – 520.

  22. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 1. С. 155 – 157.

  23. Сарычев В.А. Асимптотически устойчивые стационарные вращения спутника // Космические исследования. 1965. Т. 3. № 5. С. 667 – 673.


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2021

Вход