Об условии корректности в краевых задачах градиентных теорий упругости


DOI: 10.34759/trd-2021-120-02

Авторы

Лурье С. А.1*, Шрамко К. К.2**

1. Институт прикладной механики РАН, ИПРИМ РАН, Ленинский проспект, 32а, Москва, В-334, ГСП-1, 119991, Россия
2. Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: salurie@mail.ru
**e-mail: konstantin_home@mail.ru

Аннотация

Исследуются условия симметрии градиентных теорий упругости. Обсуждаются специфические свойства симметрии тензоров модулей упругости шестого ранга, и выделяется условие симметрии, которое характерно только для градиентных теорий. Рассматриваются модели Миндлина, связанные с первой и второй формой потенциальной энергии, ибо остальные градиентные варианты теорий упругости являются их частными случаями. Исследуется вариационная постановка градиентной упругости общего вида и роль условий симметрии, по вторым индексам в каждой тройке индексов. Доказывается, что в общем случае, что это условие симметрии является основой для формулировки условия корректности краевых задач при математической постановке градиентный теорий упругости. Отмечается необходимость требований симметрии модулей упругости (или тензоров третьего ранга для моментов по последней паре индексов) в случае, если поверхность тела имеет ребра, а также для класса так называемых векторных моделей.

Ключевые слова:

градиентная упругость, вариационные модели, свойства симметрии тензоров обобщенных модулей упругости, условия корректности

Библиографический список

  1. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 11, pp. 385-414.

  2. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964, no. 16, pp. 51-78.

  3. Mindlin R.D., Eshel N.N. On first strain-gradient theories in linear elasticity // International Journal of Solids and Structures, 1968, no. 4, pp. 109-124. DOI:10.1016/0020-7683(68)90036-X

  4. Altan B.S., Aifantis E.C. On the structure of the mode-III crack-tip in gradient elasticity // Scripta Metallurgica Et Materialia, 1992, no. 26, pp. 319ndash;324. DOI:10.1016/0956-716X(92)90194-J

  5. Vardoulakis I., Georgiadis H.G. SH surface waves in a homogeneous gradientelastic half-space with surface energy // Journal of Elasticity, 1997, no. 47, pp. 147-165. URI: http://hdl.handle.net/123456789/12434

  6. S. Li, I. Miskioglu, B.S. Altan. Solution to line loading of a semi-infinite solid in gradient elasticity // International Journal of Solids and Structures, 2004, no. 41, pp. 3395-3410. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2004.02.010

  7. Aifantis E.C. et al. The role of interfaces in enhancing the yield strength of composites and polycrystals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005, no. 53, pp. 1047-1070. DOI:10.1016/j.jmps.2004.12.003

  8. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity. Advances in Applied Mechanics, Academic Press, New York, 1997, vol. 33, pp. 295-361. DOI:10.1016/S0065-2156(08)70388-0

  9. Liu X.N., Huang G.L., Hu, G.K. Chiral effect in plane isotropic micropolar elasticity and its application to chiral lattices // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2012, no. 60, pp. 1907ndash;1921. DOI:10.1016/j.jmps.2012.06.008

  10. Ma H.M., Gao X.-L., Reddy J.N. A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, no. 56, no. 3379-3391. DOI:10.1016/j.jmps.2008.09.007

  11. Соляев Ю.О. Моделирование эффективных механических свойств керамик на основе градиентной теории межфазного слоя // Труды МАИ. 2011. № 42. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=24316

  12. Кривень Г.И., Маковский С.В. О демпфирующих свойствах вискеризованного слоя в модифицированных волокнистых композитах // Труды МАИ. 2020. № 114. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=118729. DOI: 10.34759/trd-2020-114-03

  13. Lam D.C.C., Yang F., Chonga A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2003, no. 51, pp. 1477-1508. DOI:10.1016/S0022-5096(03)00053-X

  14. Wang Q, Wang C.M. The constitutive relation and small scale parameter of nonlocal continuum mechanics for modelling carbon nanotubes // Nanotechnology, 2007, no. 18, pp. 075702. DOI: 10.1088/0957-4484/18/7/075702

  15. Forrest S. Mechanics of generalized continua: construction by homogenization // Journal de Physique IV, 1998, no.8, pp. 39ndash;48. DOI: 10.1051/jp4:1998405

  16. Gusev A.A., Lurie S.A. Strain-gradient elasticity for bridging continuum and atomistic estimates of stiffness of binary Lennard-Jones crystals // Advanced Engineering Materials, 2010, no.12, pp. 529ndash;533. DOI: 10.1002/adem.201000004

  17. Auffray N., Le Quang H., He H.C. Matrix representations for 3D strain-gradient elasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2013, no. 61, pp. 1202-1223. DOI:10.1016/j.jmps.2013.01.003

  18. Papanicolopulos S.-A. Chirality in isotropic linear gradient elasticity // International Journal of Solids and Structures, 2011, no. 48, pp. 745-752. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2010.11.007

  19. Dellrsquo;Isola F., Sciarra G., Vidoli S., Generalized Hookersquo;s law for isotropic second gradient materials // Proceedings of The Royal Society A. Mathematical Physical and Engineering Sciences, 2009, A 465, pp. 2177-2196. DOI:10.1098/rspa.2008.0530

  20. Auffray N., Bouchet R., Breacute;chet Y. Deviation of anisotropic matrix for bi-dimensional strain-gradient elasticity behavior // International Journal of Solids and Structures, 2009, no. 46, pp. 440-454. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2008.09.009

  21. Климов А.К., Климов Д.А., Низовцев В.Е., Ухов П.А. Эффективность применения наноструктурных композиционных материалов и изделий из них в авиационной промышленности // Труды МАИ. 2013. № 67. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=41486

  22. Gusev A.A., Lurie S.A. Symmetry conditions in strain gradient elasticity // Mathematics and Mechanics of Solids, 2017, no. 22(4), pp. 683ndash;691. DOI: 10.1177/1081286515606960

  23. Vasiliev V.V., Lurie S.A. On correct nonlocal generalized theories of elasticity // Physical Mesomechanics, 2016, no. 19(3), pp. 269-281. DOI:10.1134/S102995991603005X

  24. Lurie S.A., Belov P.A., Solyaev Y.O., Aifantis E.C. On one class of applied gradient models with simplified boundary problems // Materials Physics and Mechanics, 2017, no. 32(3), pp. 353-369.


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход