Особенности построения математических моделей для исследования процессов деформирования оболочек вращения из нелинейно упругих материалов

Авторы

Дмитриев В. Г.^1*, Коровайцева Е. А.^2**, Попова А. Р.^1***

1. Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4
2. НИИ механики МГУ имени М. В. Ломоносова, Мичуринский проспект, 1, Москва, 119192, Россия

*e-mail: vgd2105@mail.ru
**e-mail: katrell@mail.ru
***e-mail: Popova.ar@1566.ru

Аннотация

В работе представлены математические модели и вычислительные алгоритмы для исследования особенностей процессов деформирования тонкостенных оболочек вращения из гиперупругих материалов при произвольных обобщенных перемещениях и деформациях. Рассматривается два подхода к построению математических моделей: а) оболочка рассматривается в актуальном (деформированном) состоянии; б) уравнения формулируются для исходного недеформированного состояния оболочки. В первом случае используется квазидинамическая форма метода установления с построением явной двухслойной разностной схемы по времени второго порядка точности. При этом сеточные аналоги уравнений равновесия заменяются на уравнения, совпадающие по форме с уравнениями движения в вязкой среде. При действии «следящей» нагрузки для ускорения сходимости итерационный процесс строится относительно перемещений локального базиса u, w с последующим пересчетом в системе координат, отнесенной к актуальному состоянию оболочки. Параметры итерационного процесса определяются из условия ускорения сходимости и устойчивости разностной схемы. При использовании второго подхода решение нелинейной краевой задачи проводится на основании алгоритма метода дифференцирования по параметру. Методами вычислительного эксперимента исследованы особенности напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки из гиперупругого материала при использовании соотношений неогуковской модели как для случаев шарнирно закрепленных, так и защемленных краев. Показано хорошее совпадение результатов расчетов, полученных с использованием рассмотренных подходов.

Ключевые слова:

оболочки, гиперупругие материалы, конечные разности, нелинейные задачи, метод установления, метод продолжения по параметру, аппроксимация, граничные условия

Библиографический список

1. Друзь Б.И., Друзь И.Б. Теория мягких оболочек. – Владивосток: Изд-во МГУ, 2003. – 381 с.
2. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. – М.: Машиностроение, 1988. – 392 с.
3. Хованец В.А. Взаимодействие пневмонапряженных мягких оболочек с жесткими преградами: Дисс. … к.ф.-м.н. – Владивосток, 2004. – 199 с.
4. Лялин В.В., Морозов В.И., Пономарев А.Т. Парашютные системы: проблемы и методы их решения. –  М.: Физматлит, 2009. - 575 с.
5. Gorissen B., Milana E., Baeyens A., Broeders E., Christiaens J., Collin K., Reynaerts D., De Volder, M. Hardware Sequencing of Inflatable Nonlinear Actuators for Autonomous Soft Robots // Advanced Materials, 2019, vol. 31, no. 3. DOI: 10.1002/adma.201804598
6. Чуркин В.М., Попов Д.А., Серпичева Е.В. Анализ колебаний парашютных систем, вызванных пульсацией купола // Труды МАИ. 2002. № 7. URL: http://www.trudymai.ru/published.php?ID=34618
7. Чуркин В.М. Вынужденные колебания парашютной системы с упругими стропами // Труды МАИ. 2015. № 84. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=63004
8. Кылытчанов К.М. Некоторые задачи статики мягких оболочек при больших деформациях: Дисс. … к.ф.-м.н. – Ленинград, 1984. – 133 с.
9. Колпак Е.П. Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях: Дисс. … д.ф.-м.н. – Санкт-Петербург, 2000. – 334 с.
10. Колесников А.М. Большие деформации высокоэластичных оболочек: Дисс. … к.ф.-м.н. – Ростов-на-Дону, 2006. – 115 с.
11. Zhang C., Hao Y., Li B., Feng X., Gao H. Wrinkling patterns in soft shells // Soft matter, 2018, vol. 14, no. 9, pp. 1681-1688. DOI:10.1039/c7sm02261a
12. Zhao Z., Niu D., Zhang H., Yuan X. Nonlinear dynamics of loaded visco-hyperelastic spherical shells // Nonlinear Dynamics, 2020, vol. 101, pp. 911–933. DOI: 10.1007/s11071-020-05855-5
13. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела.  - М.: Наука, 1988. - 232 с.
14. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки. - М.: Физматлит, 1992. - 392 с.
15. Дмитриев В.Г. Численный анализ особенностей упруго-пластического деформирования неоднородных оболочек вращения в области больших перемещений и углов поворота нормали // Ученые записки ЦАГИ. 2023. № 1. C. 76-88.
16. Dmitriev V.G., Danilin A.N., Popova A.R., Pshenichnova N.V. Numerical Analysis of Deformation Characteristics of Elastic Inhomogeneous Rotational Shells at Arbitrary Displacements and Rotation Angles // Computation, 2022, no. 10 (10), pp. 184. DOI:10.3390/computation10100184
17. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.
18. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Физматлит. Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 632 с.
19. Dmitriev V. Applied Mathematic Technologies in Nonlinear Mechanics of Thin-Walled Constructions. Chapter 4. Book Mathematics Applied to Engineering and Management Sciences. Edited by Mangey Ram and S. B. Singh. CRC Press Taylor & Francis Group. BocaRaton, 2019, pp. 71-116. DOI: 10.1201/9781351123303-4
20. Паймушин В.Н. Теория тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях, основанная на модифицированной модели Кирхгофа-Лява // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. № 5. С. 813–829.
21. Коровайцева Е.А. О некоторых особенностях решения задач статики мягких оболочек вращения при больших деформациях // Труды МАИ. 2020. №114. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=118881. DOI: 10.34759/trd-2020-114-04
22. Rodríguez–Martínez J.A., Fernández–Sáez J., Zaera R. The role of constitutive relation in the stability of hyper-elastic spherical membranes subjected to dynamic inflation // International Journal of Engineering Science, 2015, vol. 93, pp. 31–45. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2015.04.004

Скачать статью