Моделирование процессов нестационарных колебаний и теплопроводности в слое с применением технологий глубокого машинного обучения


Авторы

Шон Ф. Т.

Государственный технический университет имени Ле Куй Дона, 236 ул. Хоанг Куок Вьет, Ханой, Вьетнам

e-mail: sonphantungk49@gmail.com

Аннотация

Физически информированное машинное обучения это новый, многообещающий подход к решению различных задач математической физики, зачастую таких, которые не поддаются решению другими методами или требуют значительных затрат как человеческого, так и машинного времени. Машинное обучение сегодня это уже достаточно развитая и быстро развивающаяся отрасль прикладной математики. Методы и алгоритмы машинного обучения позволяют успешно решать многочисленные насущные проблемы в самых различных отраслях промышленности, технологий производства, экономики и финансов, электронной коммерции, медицины, строительстве, транспорте и др. Следует отметить, что до буквально последних нескольких лет, глубокое машинное обучение применялось почти исключительно в прикладных задачах, основанных на сопоставлении входных и выходных данных. Методы глубокого машинного обучения обходили вниманием задачи моделирования физико-механических, химических, биологических и прочих процессов, математические модели которых представляют собой системы уравнений математической физики, дополненные граничными, начальными условиями и другими математическими соотношениями. Эти задачи имеют чрезвычайную важность, поскольку выступают в качестве фундамента, на который опираются различные прикладные отрасли.
Целью данной работы является раскрытие возможностей применения методов глубокого машинного обучения к решению нестационарных задач механики и теплопроводности. В работе рассмотрены процессы нестационарных колебаний и теплопроводности в упругом слое постоянной толщины. Приведены замкнутые математические постановки соответствующих задач. Следует отметить, что данные задачи выступают в качестве модельных. Они являются достаточно простыми. Их решение может быть получено с помощью аналитических методов. Построение решений этих задач методами глубокого машинного обучения является начальным шагом на пути разработки новых перспективных алгоритмов для решения различных задач механики деформируемого твёрдого тела.  
В работе получены решения поставленных задач с использованием аналитических и численных методов. Аналитический подход к решению основан на методе разделения переменных. Численный алгоритм решения построен с применением технологий глубокого машинного обучения. Проведено сравнение аналитических и численных результатов, подтверждающее перспективность применения предложенных методов к решению нестационарных задач механики деформируемого твёрдого тела.

Ключевые слова:

упругий слой, теплопроводность, нестационарные колебания, волновые процессы, физически информированные нейронные сети, глубокое машинное обучение, метод разделения переменных, метод градиентного спуска, алгоритм adam

Библиографический список

  1. Ефимов Е.Н., Ефимов Е.Н., Шевгунов Т.Я. Разработка и исследование методики построения нейронных сетей на основе адаптивных элементов // Труды МАИ. 2012. № 51. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=29159
  2. Ананенко В.М. Аналитическая модель определения параметров движения орбитального объекта по результатам его наблюдений с борта космического аппарата на основе нейронной сети // Труды МАИ. 2023. № 133. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=177668
  3. Соколов Д.Ю. Применение искусственной нейронной сети для решения задач прогнозирования движения наземных объектов // Труды МАИ. 2022. № 123. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=165563. DOI: 10.34759/trd-2022-123-17
  4. Касатиков Н.Н., Брехов О.М., Николаева Е.О. Интеграция технологий искусственного интеллекта и интернета вещей для расширенного мониторинга и оптимизации энергетических объектов в умных городах // Труды МАИ. 2023. № 131. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=175929. DOI: 10.34759/trd-2023-131-23
  5. Малыгин И.В., Бельков С.А., Тарасов А.Д., Усвяцов М.Р. Применение методов машинного обучения для классификации радиосигналов // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=85797
  6. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения // Доклады АН СССР. 1957. Т. 114. № 5. С. 953–956. URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan22050
  7. Braun J., Griebel M. On a constructive proof of Kolmogorov’s superposition theorem // Constructive Approximation Journal. 2009. DOI: 10.1007/s00365-009-9054-2
  8. Cybenko G.V. Approximation by Superpositions of a Sigmoidal function // Mathematics of Control Signals and Systems. 1989. V. 2, P. 303–314. DOI: 10.1007/BF02551274
  9. Blechschmidt J., Ernst O.G. Three ways to solve partial differential equations with neural networks – A review // GAMM-Mitteilungen. 2021. V. 44, No. 2. DOI: 10.1002/gamm.202100006
  10. Lagaris I., Likas A., Fotiadis D. Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations // IEEE Trans. Neural Networks. 1998. V. 9, No. 5. P. 87–100. DOI: 10.1109/72.712178
  11. Berg J., Nyström K. A unified deep artificial neural network approach to partial differential equations in complex geometries // Neurocomputing. 2018. V. 317, P. 28–41. DOI: 10.1016/j.neucom.2018 .06.056
  12. Irrgang C., Boers N., Sonnewald M., et al. Towards neural Earth system modelling by integrating artificial intelligence in Earth system science // Nature Machine Intelligence. 2021. V. 3, No. 8. P. 667–674. DOI: 10.1038/s42256-021-00374-3
  13. Owhadi H. Bayesian numerical homogenization // SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation. 2015. V. 13, No. 3. P. 812–828. DOI: 10.1137/140974596
  14. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics Informed Deep Learning (Part I): Data-driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations // Computer Science. 2017. URL: https://arxiv.org/abs/1711.10561v1. DOI: 10.48550/arXiv.1711.10561
  15. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics Informed Deep Learning (Part II): Data-driven Discovery of Nonlinear Partial Differential Equations // Computer Science. 2017. URL: https://arxiv.org/abs/1711.10566. DOI: 10.48550/arXiv.1711.10566
  16.  Raissi M., Perdikaris, P., Karniadakis, G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations // Journal of Computational Physics. 2019. V. 378, P. 686–707. DOI: 10.1016/j.jcp.2018.10.045
  17. Karniadakis G.E., Kevrekidis I.G., Lu L., et al. Physics-informed machine learning // Nature Reviews Physics. 2021. V. 3, No. 6. P. 422–440. DOI: 10.1038/s42254-021-00314-5
  18. Cai S., Mao Z., Wang Z., et al. Physics-informed neural networks (PINNs) for fluid mechanics: a review // Acta Mechanica Sinica. 2021. V. 37, No 12. P. 1727–1738. DOI: 10.48550/arXiv.2105.09506
  19. Kollmannsberger S., D’Angella D., Jokeit M., et al. Physics-Informed Neural Networks. In book: Deep Learning in Computational Mechanics // Studies in Computational Intelligence. 2021. V. 977, P. 55–84. DOI: 10.1007/978-3-030-76587-3_5
  20. Pang G., Lu L., Karniadakis G.E. fPINNs: Fractional Physics-Informed Neural Networks // SIAM Journal on Scientific Computing. 2019. V. 41, No. 4. P. 2603–2626. DOI: 10.1137/18M1229845
  21. Yarotsky D. Error bounds for approximations with deep relu networks // Neural Network. 2017. V. 94, P. 103–114. DOI: 10.1016/j.neunet.2017.07.002
  22. Yang L., Zhang D., Karniadakis G.E. Physics-informed generative adversarial networks for stochastic differential equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2020. V. 42, No. 1. P. 292–317. DOI: 10.1137/18M1225409
  23. Zhang D., Lu L., Guo L., et al. Quantifying total uncertainty in physics-informed neural networks for solving forward and inverse stochastic problems // Journal of Computational Physics. 2019. V. 397, P. 108850. DOI: 10.48550/arXiv.1809.08327
  24. Lu L., Pestourie R., Yao W., et al. Physics-informed neural networks with hard constraints for inverse design // SIAM Journal on Scientific Computing. 2021. V. 43, No. 6. P. 1105–1132. DOI: 10.1137/21M1397908
  25. Вестяк В.А., Земсков А.В. Решение обратной одномерной коэффициентной задачи связанной термоупругости для однородного слоя // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=29732
  26. Fedotenkov G. V., Vahterova Y.A., Makarevskii D.I., Thang T.Q. The inverse non-stationary problem of identification of defects in an elastic rod // INCAS Bulletin. 2021. V. 13, Special Issue. P. 57-66. DOI: 10.13111/2066-8201.2021.13.S.6
  27. Fedotenkov G.V., Tarlakovsky D.V., Vahterova Y.A. Identification of Non-stationary Load Upon Timoshenko Beam // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019. V. 40, No. 4. P. 439-447. DOI: 10.1134/S1995080219040061
  28. Vahterova Y.A., Fedotenkov G.V. The inverse problem of recovering an unsteady linear load for an elastic rod of finite length // Journal of Applied Engineering Science. 2020. V. 18, No. 4. P. 687-692. DOI: 10.5937/jaes0-28073
  29. Земсков А.В., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Одномерные нестационарные задачи термо-упругости. – М.: Изд-во МАИ, 2023 – 96 с.
  30. Хайкин С. Нейронные сети. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006. - 1104 с.
  31. Diederik P. Kingma, Jimmy Ba. Adam: A Method for Stochastic Optimization // Computer Science. 2017. URL: https://arxiv.org/abs/1412.6980. DOI: 10.48550/arXiv.1412.6980


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2025

 Вход