Новые методы построения равномерно сходящихся тригонометрических рядов Фурье

DOI: 10.34759/trd-2022-126-06

Авторы

Кутыш И. И.

ООО «ЭКОГИБЕНТ», 125080, г. Москва, ш. Волоколамское, д. 4 К. 24, офис 8

e-mail: ecogibent@mail.ru

Аннотация

Представлены новые результаты исследований сходимости тригонометрических рядов Фурье (далее ТРФ или просто рядов) с коэффициентами Фурье, построенными различными методами.

Используя понятие квадрата относительной нормы, детально проанализирована возможность аналитического представления заданной функции рядом и установлено, что причиной расходимости ТРФ при достаточном увеличении его степени является возникновение эффекта Гиббса, то есть колебания ряда относительно своей функции.

Показано, что при оценке сходимости ТРФ к его функции в качестве независимой переменой относительной нормы вместо текущего значения степени ряда k целесообразно использовать текущее значение обобщенной переменной , которая позволяет получить более общие результаты.

Установлено, что свойства ТРФ полностью определяются методами построения их коэффициентов Фурье.

Предложены методы построения сходящихся и равномерно сходящихся ТРФ и исследована сходимость этих рядов к своим функциям.

Построенные равномерно сходящиеся ТРФ сопоставлены с известными рядами Филона и Ланцоша.

Даны рекомендации по построению такого ТРФ, который обеспечивает равномерную сходимость к своей функции f(x) и корректное нахождение его первых производных, свободных от эффекта Гиббса.

Ключевые слова:

расходимость тригонометрических рядов Фурье, эффект Гиббса, коэффициенты Фурье, степень ряда, узлы аппроксимации, нормированная функция, скорость сходимости ряда Фурье, квадрат относительной нормы, обобщенная переменная, равномерно сходящийся тригонометрический ряд Фурье, укороченный тригонометрический ряд Фурье с разложением только по синусам, квадратурная формула.

Библиографический список

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 736 с.
2. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 384 с.
3. Дж. Ламли, Ж. Матье, Д. Жандель и др. Методы расчета турбулентных течений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 464 с.
4. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 432 с.
5. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB: Пер. с англ. — М.: Издательский дом Вильямс, 2016. — 1104 с.
6. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 352 с.
7. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х т: Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. Т.1. — 1504 с.
8. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х т: Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. Т.2. — 552 с.
9. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 318 с.
10. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. — М.: Издательский дом Вильямс, 2001. — 720 с.
11. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 544 с.
12. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 616 с.
13. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 616 с.
14. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. — М.: Наука, 1967. — 368 с.
15. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 448 с.
16. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решения разностных схем. — М.: Наука, 1979. — 320 с.
17. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. — М.: Наука, 1968. Т. 2. — 464 с.
18. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — 464 с.
19. Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С., Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Труды МАИ. 2010. № 40. URl: https://trudymai.ru/published.php?ID=22862
20. Игнаткин Ю.М., Макеев П.В., Шомов А.И. Численное моделирование прикладных задач аэродинамики вертолета на базе нелинейной лопастной вихревой модели винта // Труды МАИ. 2016. № 87. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=65636
21. Способин А.В. Бессеточный алгоритм расчета сверхзвуковых течений вязкого теплопроводного газа // Труды МАИ. 2021. № 121. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=162656. DOI: 10.34759/trd-2021-121-09
22. Гягяева А.Г., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Вывод уравнения динамики геометрически нелинейной пластины, взаимодействующей с тонким слоем вязкой несжимаемой жидкости // Труды МАИ. 2021. № 121. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=162650. DOI: 10.34759/trd-2021-121-06
23. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. — М.: ГИТТЛ, 1954. — 398 с.
24. Кутыш И.И. Построение равномерно сходящихся рядов Фурье для сеточных функций: Некоторые задачи и методы исследования динамики механических систем: сборник научных трудов. — М.: Изд-во МАИ, 1985. С. 68-75.
25. Кутыш И.И. Основы и приложения улучшенного спектрального метода к решению краевых задач. — LAP LAMBERT Academic Publishing, 2018. — 399 с.
26. Кутыш И.И. Построения и приложения равномерно сходящихся тригонометрических рядов Фурье // Материалы XХII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, ВМСППС’2021 (Алушта, 4 — 13 сентября 2021). — М.: Изд-во МАИ, 2021. С. 53–55.
27. Хемминг Р.И. Численные методы. — М.: Наука, 1972. — 400 с.
28. Carslaw H.S. Fourier Series and Integrals, Dover Publication, New York, 1930.
29. Малиев А.С. Ряды Фурье повышенной сходимости для функций, определенных в данном промежутке // Известия АН СССР. 1932. № 10. С. 1437–1450.
30. Кутыш И.И. Исследование сходимости спектрального метода решения дифферен-циальных уравнений // Материалы XХ юбилейной Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, ВМСППС’2017 (Алушта, 24 — 31 мая 2017). — М.: Изд-во МАИ, 2017. С. 78 — 81.

Скачать статью