Аналитическое приближение инерциального многообразия для модели движения спутника


DOI: 10.34759/trd-2022-123-25

Авторы

Кондратьева Л. А.

e-mail: liudmila.kondratieva@inbox.ru

Аннотация

Рассматривается трёхмерная модель движения спутника с тремя скалярными управляющими параметрами и двумя типами управляющих функций. Эта модель описывает плоское движение летательного аппарата вокруг объекта пренебрежимо малой массы, которым может быть другой летательный аппарат или небесное тело небольших размеров. Центр орбиты может даже не представлять собой материальный объект, а быть фиксированной геометрической точкой в пространстве. При определённых условиях на управление в трёхмерном фазовом пространстве данной модели существует двумерное инерциальное многообразие M ‒ гладкая инвариантная поверхность, экспоненциально притягивающая при t → +∞ произвольные решения системы. Более того, инерциальное многообразие содержит асимптотически орбитально устойчивый предельный цикл ‒ замкнутую траекторию, притягивающую при t → +∞ все траектории из некоторой своей окрестности. Наличие k-мерного инерциального многообразия для n-мерной динамической системы позволяет, фактически, выделить k (k < n) степеней свободы, полностью определяющих поведение системы при большом времени, Для рассматриваемой трёхмерной модели выделяем две определяющие степени свободы. Явно (аналитически) найти циклы, а тем более инерциальное многообразие конкретных динамических систем удаётся лишь в исключительных случаях. Целью данной работы является приближённая аналитическая аппроксимация инерциального многообразия и предельного цикла для системы ОДУ, описывающей модель движения спутника. Предлагается итеративная процедура аналитического приближения многообразия M, отличная от ранее известных. С помощью пакета Maple строятся вещественно-аналитические поверхности Sk , всё более точно приближающие инерциальное многообразие с ростом числа итераций k. При этом предельный цикл «всё лучше укладывается» на Sk при возрастании k. Численные эксперименты дают основания считать, что построенная последовательность приближённых инерциальных многообразий сходится к точному инерциальному многообразию. В работе представлены примеры пошагового приближённого вычисления инерциального многообразия для двух вариантов выбора управляющей функции в модели движения спутника. Предложенный итерационный метод применим к широкому классу конечномерных динамических систем. Данный подход выглядит проще традиционных, его теоретическое обоснование должно составить предмет последующих публикаций.

Ключевые слова:

модель движения спутника; инерциальное многообразие; устойчивый предельный цикл

Библиографический список

  1. Panteleev A., Karane M. Hybrid multi-agent optimization method of interpolation search // AIP Conference Proceedings, 2019, no. 2181 (1), pp. 020028. DOI:10.1063/1.5135688

  2. Averina T., Rybakov K. Systems with regime switching on manifolds // Proceedings of the 2018 14th International Conference «Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems» (Pyatnitskiy’s Conference) (STAB), IEEE, 2018, pp. 1-3. DOI:10.1109/STAB.2018.8408345

  3. Бортаковский А.С., Урюпин И.В. Оптимизация маршрутов непрерывно-дискретного движения управляемых объектов при наличии препятствий // Труды МАИ. 2020. № 113. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=118185. DOI: 10.34759/trd-2020-113-17

  4. Семенов В.В., Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Математическая теория управления в примерах и задачах. ‒ М.: Изд-во МАИ-Принт, 1997. ‒ 264 с.

  5. Sidorenko V.V., Celletti A. «Spring-mass» model of tethered satellite systems: properties of planar periodic motions // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2010, no. 107 (1-2), pp. 209-231. DOI:10.1007/s10569-010-9275-5

  6. Галиуллин И.А., Кондратьева Л.А. Спутниковые инерциальные многообразия и предельные циклы // Космонавтика и ракетостроение. 2011. № 3(64). C. 73-76.

  7. Кондратьева Л.А. Приближённое аналитическое вычисление устойчивой периодической орбиты спутника // Вестник Московского авиационного института. 2012. T. 19. № 1. С. 75-80.

  8. Kondratieva L. Computational model for satellite periodic motion // In 21st International Conference on Computational Mechanics and Modern Applied Software Systems, CMMASS-2019, AIP Conference Proceedings 2181 020002, AIP Publishing, 2019. DOI:10.1063/1.5135662

  9. Kondratieva L.A., Romanov A.V. Inertial manifolds and limit cycles of dynamical systems in R n // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2019, no. 96, pp. 1-11.

  10. Хрусталёв М.М., Халина А.С. Идентификаторы пониженной размерности в задаче стабилизации беспилотного летательного аппарата в неспокойной атмосфере // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=99065

  11. Казмерчук П.В., Вернигора Л.В. Метод линеаризации в задачах перелета космических аппаратов с электроракетной двигательной установкой на геостационарную орбиту // Труды МАИ. 2020. № 115. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=119924. DOI: 10.34759/trd-2020-115-09

  12. Пантелеев А.В., Каранэ М.М.С. Применение гибридного мультиагентного метода интерполяционного поиска в задаче о стабилизации спутника // Труды МАИ. 2021. № 117. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=156249. DOI: 10.34759/trd-2021-117-10

  13. Abouelmagd E.I., Doshi M.J., Pathak N.M. Evolution of Periodic Orbits within the Frame of Formation Satellites // Advances in Astronomy, 2020, vol. 3, pp. 1-17. DOI: 10.1155/2020/1348319

  14. Pal A.K., Abouelmagd E.I., García Guirao J.L., Brzezinski D.W. Periodic Solutions of Nonlinear Relative Motion Satellites // Symmetry, 2021, no. 13(595), pp. 1-20. DOI: 10.3390/sym13040595

  15. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics (Second ed.). Springer, New York, 1997, 648 p.

  16. Ito K., Kunisch K. Reduced-order optimal control based on approximate inertial manifolds for nonlinear dynamical systems // SIAM Journal on Numerical Analysis, 2008, no. 46 (6), pp. 2867-2891. DOI:10.1016/j.laa.2004.10.019

  17. Zhang J.-Z., Liu Y., Feng P.-H. Approximate inertial manifolds of Burgers equation approached by nonlinear Galerkin’s procedure and its application // Comm. in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, no. 16 (12), pp. 4666-4670. DOI:10.1016/j.cnsns.2011.03.004

  18. Debussche A., Temam R. Convergent families of approximate inertial manifolds // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1994, no. 73, pp. 485-522.

  19. Lisha Xu, Hua Deng, Chong Lin, Yi Zhang. Approximate Inertial Manifold-Based Model Reduction and Vibration Suppression for Rigid-Flexible Mechanical Arms // Complexity, 2021, pp. 1–17. URL: DOI: 10.1155/2021/8290978

  20. Poland D. Loci of limit cycles // Physical Review E, 1994. no. 49 (1), pp.157-165. DOI:10.1103/PHYSREVE.49.157

  21. Delamotte B. Nonperturbative (but approximate) method for solving differential equations and finding limit cycles // Physical Review Letters, 1993, no.70 (22), pp. 3361-3364. DOI:10.1103/PHYSREVLETT.70.3361


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход