Особенности применения вектора Эйлера для описания больших поворотов при моделировании элементов конструкций летательных аппаратов на примере стержневого конечного элемента

Авторы

Низаметдинов Ф. Р.^*, Сорокин Ф. Д.^**

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2-я Бауманская ул., 5, стр. 1, Москва, 105005, Россия

*e-mail: frnizametdinov@list.ru
**e-mail: sorokinfd@bmstu.ru

Аннотация

Элементы конструкций летательных аппаратов часто могут быть сведены к балочной модели, подверженной большим перемещениям при малых деформациях. Наиболее удобным и эффективным методом решения задач, описываемых такой расчетной схемой, является метод конечных элементов. В данной работе проведен обзор традиционных подходов к описанию больших перемещений и современных работ по созданию геометрически нелинейных балочных КЭ, а также предложены две модификации, позволяющие описывать неограниченно большие повороты. Отмечены особенности этих модификаций и получены матрицы касательных жесткостей и вектор узловых сил КЭ балки с учетом этих особенностей. Корректность полученных соотношений подтверждается решением тестовой задачи № 1, также проводится сопоставление модификаций решением тестовой задачи № 2. Отмечаются преимущества и недостатки обеих модификаций.

Ключевые слова

вектор Эйлера, тензор поворота, большие перемещения, большие повороты, матрица касательной жесткости, конечный элемент, теневой элемент

Библиографический список

1. Братухина А.И. Об усталостной прочности лопасти несущего винта вертолета при действии ветровых нагрузок // Труды МАИ. 2001. № 4. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=34669

2. Братухина А.И. Некоторые особенности исследования динамической прочности лопастей несущего винта с бесшарнирным креплением при полете в неспокойной атмосфере // Труды МАИ. 2001. № 4. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=34668

3. Загордан А.А. Исследование работоспособности упругого отклоняемого носка крыла под действием внешних нагрузок // Труды МАИ. 2010. № 38. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=14145

4. Комаров В.А., Кузнецов А.С., Лаптева М.Ю. Оценка эффекта учета деформаций крыла на ранних стадиях проектирования // Труды МАИ. 2011. № 43. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=24759

5. Светлицкий В.А. Механика стержней. Статика. – М.: Высшая школа, 1987. – 320 с.

6. Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Механика тонкостенных конструкций. Теория стержней. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.– 95 с.

7. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней.- СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2007. — 101 с.

8. Бадиков Р.Н. Расчётно-экспериментальное исследование напряжённо-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах: дисс. ...канд. техн. наук. – М.: 2009. – 166 с.

9. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота // Известия РАН. Механика твердого тела. 1994. № 1. C. 164 – 168.

10. Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. – 208 с.

11. Дмитроченко О.Н. Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Брянск: 2003. – 16 с.

12. Kreuzer E., Ellermann K. Multibody system dynamics in ocean engineering // Proceedings of NATO ASI on Virtual Nonlinear Multibody Systems 1, Prague, June 23 – July 3, 2002, pp. 108 – 129.

13. Pogorelov D. Multibody system approach in simulation of underwater cable dynamics // Abstracts of Euromech 398. Colloquium on Fluid-Structure Interaction in Ocean Engineering, Germany, Hamburg Technical University, Hamburg-Harburg, October 11-14, 1999, pp. 40.

14. Shabana A.A. Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments // Multibody System Dynamics, 1997, no.1, pp. 189 – 222.

15. Синельщиков А.В. Большие перемещения в задачах динамического анализа грузоподъемных кранов // Вестник Астраханского государственного технического университета. 2007. № 2 (37). С. 10 – 16.

16. Gerstmayr J., Shabana A.A. Analysis of higher and lower order elements for the absolute nodal coordinate formulation // Proceedings of the ASME 5th International Conference on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics, and Control, ASME, N.-Y., 2005, pp. 1311-1318, doi:10.1115/DETC2005-84827.

17. Dombrowski S.V. Analysis of Large Flexible Body Deformation in Multibody Systems Using Absolute Coordinates // Multibody System Dynamics, 2002, no. 8, pp. 409 – 432.

18. Yakoub R.Y., Shabana A.A. Three Dimensional Absolute Nodal Coordinate Formulation for Beam Elements: Implementation and Applications // Journal of Mechanical Design, 2001, vol. 123, no. 4, pp. 614 – 623

19. Юдаков А.А. Принципы построения общих уравнений динамики упругих тел на основе модели Крейга–Бэмптона и их практически значимых приближений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. № 3. С. 126 – 140.

20. Pimenta P.M., Yojo T. Geometrically exact analysis of spatial frames // Applied Mechanics Reviews, 1993, vol. 46, no. 1, pp. 118 – 128.

21. Левяков С.В. Нелинейный пространственный изгиб криволинейных стержней с учетом поперечного сдвига // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 2. С. 128 – 136.

22. Geradin M., Cardona A. Flexible Multibody Dynamics – A Finite Element Approach, New York, Wiley, 2000, 327 p.

23. Лалин В.В., Яваров А.В. Построение и тестирование конечного элемента геометрически нелинейного стержня Бернулли-Эйлера // Жилищное строительство. 2013. № 5. C. 51 – 55.

24. Семенов П.Ю. Стержневой конечный элемент для расчетов с большими перемещениями и вращениями // Труды II международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 8 – 11 декабря 2009). – Kaзaнь: НИИММ им. Н.Г. Чеботарева, 2009. C. 24 – 29.

25. Felippa C.A., Haugen B. A unified formulation of small-strain corotational finite elements: I. Theory // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1994, vol. 194, no. 21, pp. 2285 – 2335.

26. Crisfield M.A., Galvanetto U., Jelenić G. Dynamics of 3-D co-rotational beams // Computational Mechanics, 1997, vol. 20, no. 6, pp. 507 – 519.

27. Jelenić G., Crisfield M.A. Geometrically exact 3D beam theory: implementation of a strain-invariant finite element for statics and dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, vol. 171, no. 1, pp. 141 – 171.

28. Cardona A., Geradin M. A beam finite element non-linear theory with finite rotations // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1988, vol. 26, no. 11, pp. 2403 – 2438.

29. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. – М.: Наука, 1992. – 280 с.

30. Bremer H. Elastic multibody dynamics: a direct Ritz approach, Springer, 2008, 449 р.

31. Сорокин Ф.Д. Особенности рационального способа описания больших поворотов в задачах нелинейной динамики роторных машин // III Международная Школа-конференция молодых ученых «Нелинейная динамика машин»-School-NDM – 2016. Сборник трудов. (Москва, 12-15 апреля 2016). – М.: Институт машиноведения им. А.А. Благонравова, 2016. С. 87 – 93.

32. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. – СПб.: Нестор, 2001. – 276 с.

33. Rankin C.C., Brogan F.A. An Element Independent Corotational Procedure for the Treatment of Large Rotation // Journal of Pressure Vessel Technology-Transactions of The ASME, 1986, vol. 108, no 2, pp. 165 – 174.

34. Crisfield M.A. Nonlinear Finite Element Analysis of Solid and Structures, John Wiley & Sons, Chichester, 1996, 493 p.

35. Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76832

Скачать статью