О приведении некоторых систем классической механики к системам Лиувилля


DOI: 10.34759/trd-2023-128-02

Авторы

Кулешов А. С.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Ленинские горы, 1, Москва, 119991, Россия

e-mail: kuleshov@mech.math.msu.su

Аннотация

В работе рассмотрены несколько известных систем классической механики (случай Эйлера — Пуансо задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой, задача Якоби о геодезических на эллипсоиде, задача о качении шара Чаплыгина), которые путем замены переменных принимают вид систем Лиувилля с двумя степенями свободы. В результате исследование динамики этих систем можно проводить с помощью методов теории топологического анализа с разделением переменных по Лиувиллю.

Ключевые слова:

система Лиувилля, задача Эйлера – Пуансо, задача Якоби, шар Чаплыгина

Библиографический список

  1. Liouville J. Sur quelques cas particulieres ou les equations du mouvement d’un point materiel peuvent s’integrer // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1846, vol. 11, pp. 345-378.
  2. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=65212
  3. Бардин Б.С., Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=72568
  4. Сафонов А.И. О периодических движениях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности кратного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2022. № 126. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=168988. DOI: 10.34759/trd-2022-126-02
  5. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. — М.: Изд-во Московского университета, 1984. — 296 с.
  6. Татаринов Я.В. Построение компактных инвариантов многообразий, отличных от торов, в одной интегрируемой неголономной задаче // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. № 5. С. 216.
  7. Татаринов Я.В. Разделяющиеся переменные и новые топологические явления в голономных и неголономных системах // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1988. Т. XXIII. С. 160-174.
  8. Бебенин Р.М., Татаринов Я.В. Частотная невырожденность в задачах небесной механики // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2000. № 5. С. 30-35.
  9. Кисляков А.С., Макаревич М.М., Татаринов Я.В. Топологический анализ нового интегрируемого варианта неголономной задачи Суслова // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2006. № 6. С. 34-41.
  10. Алексеев В.М. Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений // Бюллетень ИТА АН СССР. 1965. Т. 10. № 4. С. 241-271.
  11. Sumbatov A.S. Invariant Characterization of Liouville’s System with Two Degrees of Freedom // International Journal of Applied Mathematics, Computational Science and Systems Engineering, 2022, vol. 4, pp. 74-76. DOI:10.37394/232026.2022.4.9
  12. Llibre J., Valls C. Integrability of Hamiltonian Systems with Two Degrees of Freedom and Homogeneous Potential of Degree Zero // Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018, vol. 6, pp. 2192-2201. DOI:10.4236/jamp.2018.611184
  13. Ryabov P.E., Sokolov S.V. Bifurcation Diagram of the Model of a Lagrange Top with a Vibrating Suspension Point // Mathematics, 2023, vol. 11(3), pp. 533. DOI:10.3390/math11030533
  14. Jingjia Qu. Complex Dynamics of Some Hamiltonian Systems: Nonintegrability of Equations of Motion // Advances in Mathematical Physics, 2019, vol. 2019. ID 9326947.
  15. Martynchuk N., Dullin H.R., Efstathiou K., Waalkens H. Scattering Invariants in Euler’s two — center problem // Nonlinearity, 2019, vol. 32, pp. 1296-1326. DOI:10.1088/1361-6544/aaf542
  16. Баркин М.Ю. Приближенное решение задачи Лиувилля в переменных «действие-угол» для задачи Эйлера — Пуансо // Труды МАИ. 2014. № 72. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=47336
  17. Якоби К. Лекции по динамике. — Л.-М.: ГРОТ, 1936. — 271 с.
  18. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная классификация интегрируемых систем типа Эйлера в динамике твердого тела // Успехи математических наук. 1993. Т. 48. № 5. С. 163-164.
  19. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации — I // Математический сборник. 1994. Т. 185. № 4. С. 27-80.
  20. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации — II // Математический сборник. 1994. Т. 185. № 5. С. 27-78.
  21. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Функциональный анализ и его приложения. 1995. Т. 29. Вып. 3. С. 1-15.
  22. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Математический сборник. 1903. Т. 24. Вып. 1. С. 139-168.
  23. Чаплыгин С.А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Математический сборник. 1911. Т. 28. Вып. 2. С. 303-314.
  24. Болсинов А.В., Борисов А.В., Мамаев И.С. Геометризация теоремы Чаплыгина о приводящем множителе // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 4. С. 627-640.
  25. Веретенников В.Г., Синицын В.А. К теории приводящего множителя С.А. Чаплыгина // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 5. С. 628-632.

Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход