Анализ интегрируемого случая Гесса в задаче о движении шара по гладкой горизонтальной плоскости


Авторы

Кулешов А. С.*, Лобанова Е. В.**

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Ленинские горы, 1, Москва, 119991, Россия

*e-mail: kuleshov@mech.math.msu.su
**e-mail: yorik0603helena@gmail.com

Аннотация

Задача о качении тяжелого неоднородного шара по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости – одна из наиболее известных задач механики, сочетающая простоту постановки с невозможностью полного и общего решения. Результаты исследования этой задачи находят применение при решении различных технических задач, в частности, при решении задачи об обкатке ротора по жесткому подшипнику. Эта задача во многом аналогична задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Известны случаи интегрируемости уравнений движения задачи о качении шара, аналогичные случаям Эйлера – Пуансо, Лагранжа и Гесса классической задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. В данной работе изучается интегрируемый случай задачи о качении шара, аналогичный случаю Гесса. Показано что, как и в классической задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой, качественное описание движения шара по гладкой горизонтальной плоскости сводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, причем в случае равенства нулю постоянной интеграла площадей уравнения движения шара могут быть проинтегрированы в квадратурах.

Ключевые слова:

качение неоднородного шара, гладкая плоскость, случай Гесса

Библиографический список

  1. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=65212

  2. Бардин Б.С., Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=72568

  3. Сафонов А.И. О периодических движениях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности кратного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2022. № 126. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=168988. DOI: 10.34759/trd-2022-126-02

  4. Баркин М.Ю. Приближенное решение задачи Лиувилля в переменных «действие-угол» для задачи Эйлера – Пуансо // Труды МАИ. 2014. № 72. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=47336

  5. Соколов С.В. Интегрируемый случай М. Адлера и П. ван Мёрбеке. Механическая интерпретация // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=84387

  6. Соколов С.В. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=93532

  7. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. - 384 с.

  8. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. - М.: Наука. 1992. - 336 с.

  9. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. - М.: Наука. 1988. - 304 с.

  10. Ивочкин М.Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости // Математический сборник. 2008. Т. 199. Вып. 6. С. 85-104.

  11. Ивочкин М.Ю. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 75. Вып. 5. С. 858-863.

  12. Буров А.А. О частных интегралах уравнений движения твердого тела по гладкой плоскости: в сб. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. - М.: ВЦ РАН. 1985. С. 118-121.

  13. Буров А.А. О частных интегралах уравнений движения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 5. С. 72-73.

  14. Борисов А.В., Мамаев И.С. Случай Гесса в динамике твердого тела // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 256–265.

  15. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 502-507.

  16. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. - Новосибирск: Издательство Новосибирского университета, 1965. 221 с.

  17. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого тела. - Киев: Наукова думка, 2012. - 402 с.

  18. Бардин Б.С., Кулешов А.С. Алгоритм Ковачича и его применение в задачах классической механики. - М.: Издательство МАИ. 2020. - 260 с.

  19. Бардин Б.С., Кулешов А.С. Применение алгоритма Ковачича для исследования случая Гесса в задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой // Динамические системы. 2020. Т. 10. № 2. С. 197–204.

  20. Bardin B.S., Kuleshov A.S. Application of the Kovacic algorithm for the investigation of motion of a heavy rigid body with a fixed point in the Hess case // ZAMM Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 2022, vol. 102, no. 11. DOI: 10.1002/zamm.202100036


Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход