Задача о качении шара по поверхности вращения и ее численный анализ


Авторы

Косенко И. И.*, Кулешов А. С.**, Шишков А. А.***

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Ленинские горы, 1, Москва, 119991, Россия

*e-mail: kosenkoii@gmail.com
**e-mail: kuleshov@mech.math.msu.su
***e-mail: shish-tula@yandex.ru

Аннотация

При создании моделей различных технических устройств и процессов достаточно часто используются механические системы с неголономными связями. В качестве примера можно привести классическую работу М.В. Келдыша [1], в которой была предложена неголономная механическая модель, описывающая эффект «шимми» – явление интенсивных угловых автоколебаний передних колес самолетов [2]. Поэтому интерес представляет и дальнейшее исследование классических задач неголономной механики, которые теперь могут быть изучены при помощи современных математических, символьных и численных методов. Одной из таких задач динамики неголономных систем является задача о качении тяжелого однородного шара по заданной абсолютно шероховатой поверхности вращения. Эта задача рассматривалась ещё в конце XIX – начале XX века в работах Э. Дж. Рауса и Ф. Нётера [3, 4]. Причем в этих работах заданной считалась поверхность, на которой при движении располагается геометрический центр шара, а не опорная поверхность, по которой шар катится. В работе показано как, задавая в явном виде поверхность, по которой движется центр шара, привести уравнения движения шара к системе уравнений, записанной в форме Коши, то есть свести задачу описания движения шара к решению задачи Коши. Коэффициенты соответствующих уравнений будут зависеть от характеристик поверхности, по которой движется центр шара, её главных кривизн и коэффициентов Ламе. Если уравнения движения некоторой механической системы записаны в форме Коши, то удобно провести численный анализ рассматриваемой системы. Поэтому с помощью комплекса символьных вычислений MAPLE был проведен численный анализ уравнений движения шара по поверхности параболоида вращения. Полученные численно результаты подтверждают аналитически доказанные утверждения о движении шара по параболоиду вращения. 

Ключевые слова:

неголономная система, однородный шар, поверхность вращения

Библиографический список

  1. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. - М.: Бюро новой техники НКАП, 1945. - 34 с.

  2. Загордан А.А. Современное состояние теории шимми // Труды МАИ. 2011. № 47. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=26675

  3. Routh E.J. The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies: Being Part II of a Treatise on the Whole Subject. Cambridge: Cambridge University Press, 2013.

  4. Noether F. Uber rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsflachen, Leipzig, Teubner, 1909.

  5. Кулешов А.С., Соломина Д.В. Применение алгоритма Ковачича для исследования задачи о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения // Проблемы информатики. 2021. № 1. С. 15–24.

  6. Кулешов А.С., Соломина Д.В. Лиувиллевы решения в задаче о качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения // Вестник Санкт Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8. № 4. С. 653–660.

  7. Kuleshov A.S., Solomina D.V. Application of the Kovacic Algorithm to the Problem of Rolling of a Heavy Homogeneous Ball on a Surface of Revolution // Communications in Computer and Information Science, 2021, vol. 1413, pp. 169–177. DOI: 10.1007/978-3-030-78759-2_15

  8. Кулешов А.С., Шишков А.А. О качении тяжелого однородного шара по поверхности вращения второго порядка и по тору // Труды XXIII Международной конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (Нижний Новгород, 13-16 ноября 2023). - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2023. С. 93-97.

  9. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A. The rolling motion of a ball on a surface. New integrals and hierarchy of dynamics // Regular & Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, issue 2, pp. 201-219. DOI: 10.1070/RD2002v007n02ABEH000205

  10. Borisov A.V., Mamaev I.S., Bizyaev I.A. The Hierarchy of Dynamics of a Rigid Body Rolling without Slipping and Spinning on a Plane and a Sphere // Regular & Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, issue 3, pp. 277-328. DOI: 10.1134/S1560354713030064

  11. Fasso F., Sansonetto N. Conservation of Energy and Momenta in Nonholonomic Systems with Affine Constraints // Regular & Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, issue 4, pp. 449–462. DOI: 10.1134/S1560354715040048

  12. Borisov A.V., Mamaev I.S. Symmetries and Reduction in Nonholonomic Mechanics // Regular & Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, issue 5, pp. 553-604. DOI: 10.1134/S1560354715050044

  13. Fasso F., Sansonetto N. On Some Aspects of the Dynamics of a Ball in a Rotating Surface of Revolution and of the Kasamawashi Art // Regular & Chaotic Dynamics, 2022, vol. 27, issue 4, pp. 409-423. DOI: 10.1134/S1560354722040025

  14. Косенко И.И., Кузнецова Л.В., Николаев А.В., Кузнецов Л.Ю., Олейник А.В. Моделирование и виртуальное прототипирование. - М.: ИНФРА–М, 2012. - 176 c.

  15. Косенко И.И., Кузнецова Л.В., Николаев А.В., Кузнецов Л.Ю., Олейник А.В. Проектирование и 3D – моделирование в средах CATIA V5, ANSYS и Dymola 7.3. - М.: ИНФРА–М, 2020. – 183 c.

  16. Бардин Б.С., Савин А.А. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника на круговой орбите // Труды МАИ. 2016. № 85. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=65212

  17. Бардин Б.С., Чекина Е.А. Об устойчивости резонансного вращения динамически симметричного спутника в плоскости эллиптической орбиты // Труды МАИ. 2016. № 89. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=72568

  18. Сафонов А.И. О периодических движениях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности кратного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2022. № 126. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=168988. DOI: 10.34759/trd-2022-126-02

  19. Холостова О.В., Сафонов А.И. О бифуркациях положений равновесия гамильтоновой системы в случаях двойного комбинационного резонанса третьего порядка // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=93292

  20. Соколов С.В. Интегрируемый случай М. Адлера и П. ван Мёрбеке. Механическая интерпретация // Труды МАИ. 2017. № 95. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=84387

  21. Соколов С.В. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=93532

  22. Баркин М.Ю. Приближенное решение задачи Лиувилля в переменных «действие-угол» для задачи Эйлера – Пуансо // Труды МАИ. 2014. № 72. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=47336

Скачать статью

mai.ru — информационный портал Московского авиационного института

© МАИ, 2000—2024

 Вход